哎```很难的代数题啊`想不出来啊

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/07 20:52:40
1，某班45人参加一次数学比赛，结果有35人答对了第一题，有27人答对了第二题，有41人答对了第三题，有38人答对了第四题，则这个班4道题都答对了的至少有多少人 ？

2，已知S=1^2-2^2+3^2-4^2+.....+2005^2-2006^2+2007^2,则S除以2005的余数是多少 ？

1、答错第一题的有45-35=10
答错第二题的有45-27=17
答错第三题的有45-41=4
答错第四题的有45-38=7
所以四道题答对的至少有45-10-17-4-7=7人

2、首先，将各个数字换一下位置

S=（1²-2004²）-（2²-2003²）+（3²-2002²）+……-（1002²-1003²）+2005²+（2007²-2006²）
因为在2005之前的各项都是平方差，而且因式分解之后都是2005的整数倍，因此在2005（包括2005）之前的除以2005都是整除，只需要考虑最后两项（2007²-2006²）=（2007+2006）（2007-2006）=2005*2+3

所以最后S除以2005的余数是3

1、第一题有10人没答出，第二题有18人没答出，第三题有4人没答出，第四题有7人没答出。要算至少多少人全对，可以换过来算至多有多少人出过错。那么最多有10+18+4+7=39人出过错，因此至少有6人全对。

2、用合并法，S=1^2+(-2^2+3^2)+(-4^2+5^2)+…+(-2006^2+2007^2)
=1+(3-2)(3+2)+(5-4)(5+4)+…=1+5+9+…4013
上式是一个公差为4的等差数列的和，项数共有(4013-1)/4+1=1004项
因此上式的值可写为：
(4013+1)*1004/2
=4014*502
=4010*502+4*502
=20050*251+2008
用这个式子除以2005,前一半即20050*251是能够整除2005的，余数出现在后一半，即2008/2005
所以余数是3